UNIDAD 1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO LOGARITMOS Y EXPONENCIALES

RESULTADO DE APRENDIZAJE 1.1
MANEJA DESIGUALDADES, GRÁFICAS Y PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS MEDIANTE LEYES Y PROPIEDADES

A. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES

Una desigualdad es una expresión matemática que sirve para representar que cierta cantidad es mayor o menor que otra. La desigualdad siempre contiene alguno de los signos “<” (menor que), “>” (mayor que),“≤” (menor o igual que), “≥” (mayor o igual que).

Por ejemplo, "4 es mayor que 3" se puede escribir como "4 > 3". Las desigualdades que sólo contienen valores numéricos son verdaderas (como 4 > 3) o falsas (como 1 > 2).

PROPIEDADES

1- Propiedad aditiva de las desigualdades:
Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta un número real, se obtiene otra desigualdad que mantiene el sentido de la primera.
a < b /+c ; a+c < b+c

2- Propiedad multiplicativa de las desigualdades:
a) Si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un número real positivo, se obtiene otra desigualdad que mantiene el sentido de la primera. a > b, a c > b c
b) Si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un número real negativo, se obtiene otra desigualdad de distinto sentido que la primera. a > b, a/c < b/c

3- Propiedad del inverso de las desigualdades: Si se tiene una desigualdad en que ambos miembros sean positivos o ambos negativos y se genera el inverso multiplicativo, resulta otra desigualdad de distinto sentido que la primera. a > b,
1/a < 1/b

4- Si se tiene una desigualdad donde ambos miembros son positivos y se elevan ambos a un exponente par positivo, se obtiene otra desigualdad que mantiene el sentido de la primera. a > b, a2 > b2

5- Si se tiene una desigualdad donde ambos miembros son negativos y se elevan ambos a un exponente par positivo, se obtiene otra desigualdad con distinto sentido que la primera. a > b, a < b

6- Propiedad de extracción de desigualdades: Si ambos miembros de una desigualdad de números reales positivos, se les extrae √, se obtiene otra desigualdad de igual sentido que la primera. a > b, √a > √b

7- El sentido de una desigualdad queda indeterminado si ambos miembros tienen signos contrarios y se elevan a un exponente par.

INTERVALOS

Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a ,b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b .

Intervalo cerrado
Intervalo cerrado, [a,b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a ,b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha, [a ,b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

COMO RESOLVER UNA DESIGUALDAD

B. APLICACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x).

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

Dominio:

El dominio son todos los números reales.

Recorrido:

El recorrido son todos los números reales positivos.

Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es decreciente.

Todas las funciones exponenciales exp (x) cumplen las siguientes propiedades:

C. APLICACIÓN DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Dominio:

El dominio son todos los números reales positivos.

Recorrido:

El recorrido son todos los números reales.

Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.

La imagen de 1 siempre es 0 y la imagen de a es 1.

Así pues, las funciones logarítmicas siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).

La función logarítmica es inyectiva.

PROPIEDADES

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

Función logarítmica del producto:

Función logarítmica de la división:

Función logarítmica del inverso multiplicativo:

Función logarítmica de la potencia:

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para dé como resultado el número b.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, 32 = 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman algoritmos comunes.

Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función logarítmica la que tiene de base el número e (a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y suele escribirse: f(x) = ln x.

RESULTADO DE APRENDIZAJE 1.2.
SOLUCIONA SITUACIONES DE ENTORNO MEDIANTE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

A. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que aparecen exponenciales, es decir, potencias cuyos exponentes son expresiones en las que aparece la incógnita, x. En esta sección resolveremos ecuaciones exponenciales sin usar logaritmos.

El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes. Por ejemplo:

3^2x=3⁶

La ecuación anterior se cumple si los exponentes son iguales. Por tanto, en este ejemplo el valor que debe tomar x es 3.

Para conseguir igualdades como la anterior, tendremos que factorizar, expresar los números en forma de potencias, aplicar las propiedades de las potencias y escribir las raíces como potencias. En ocasiones, tendremos que realizar un cambio de variable para transformar la ecuación en una ecuación de primer o de segundo grado e, incluso, de grado mayor.

DESARROLLO ALGEBRAICO

Empezamos factorizando el 16 para que sólo tengamos una base:

Al tener una potencia elevada a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes:

Ahora, en el primer miembro tenemos una multiplicación de potencias con la misma base. Por tanto, se mantiene la base y se suman los exponentes:

Simplificamos el exponente agrupando términos:

Y ya podemos igualar los exponentes, que nos queda una ecuación de primer grado, que podemos resolver:

GRAFICANDO FUNCIONES EXPONENCIALES

Una función exponencial sencilla para graficar es:

COMO GRAFICAR FUNCIONES EXPONENCIALES

B. DESARROLLO DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita se encuentra en el argumento de logaritmos. Su resolución se reduce, en realidad, a la resolución de ecuaciones del estilo de las expresiones algebraicas de los argumentos (por ejemplo, ecuaciones de segundo grado, irracionales, cuadradas, exponenciales, etc.). También podemos encontrar ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en la base de los logaritmos o en los exponentes de sus argumentos.
Lo más normal es que te encuentres con ecuaciones donde tengas varios logaritmos en cada miembro, algunos multiplicados por algún número y además combinados con términos sin logaritmos (números o incógnitas).Ahí es donde entran en juego la aplicación de las propiedades de los logaritmos, las cuales nos ayudarán a simplificar la ecuación para conseguir que nos quede un logaritmo en cada miembro y así poder eliminarlos.

DESARROLLO ALGEBRAICO

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece dentro del logaritmo, como por ejemplo: