UNIDAD 2. MODELADO ANGULAR, LINEAL, DE SUPERFICIE Y ESPACIAL.

RESULTADO DE APRENDIZAJE 2.1

RESUELVE PROBLEMAS DE DIMENSIONES LINEALES Y SUPERFICIALES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS MEDIANTE PROPIEDADES, TEOREMAS, CÁLCULOS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS.  

A.  CÁLCULO Y TRAZO DE COMPONENTES DE LA GEOMETRÍA

ÁNGULOS

Las unidades para medir un ángulo son el grado sexagesimal, el radián y el grado centesimal.

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

·         1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).

·         1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).

·         1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Un RADIÁN es el ángulo que aparece cuando la longitud del arco de la circunferencia, mide lo mismo que el radio. El radián no depende del tamaño de la circunferencia.

El grado centesimal  es una unidad de medida de ángulos planos, alternativa al grado sexagesimal y al radián. El valor de un grado centesimal se define como el ángulo central subtendido por un arco, cuya longitud es la cuadringentésima (1/400) parte de una circunferencia. Su símbolo es una ge minúscula, en superíndice, colocada tras la cifra en cuestión.

Debido a que la circunferencia se divide en 400 gon, por ejemplo un ángulo recto equivale a 100 gon, lo que permite determinar que un grado centesimal equivale a nueve décimas partes del grado sexagesimal.

Suma de ángulos

Gráfica: La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.

Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

Se hace lo mismo para los minutos. 

Resta de ángulos

Gráfica: La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

Numérica:

Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación, restamos los segundos.

Hacemos lo mismo con los minutos.

Multiplicación de ángulos

Gráfica: La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.

Numérica:

Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.

Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

Se hace lo mismo para los minutos. 

División de ángulos

Gráfica: La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.

:4 = 

Numérica: Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1 Se dividen los grados entre el número. 

  

2 El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3 Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4 Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

PUNTO Y LÍNEA

El punto no es un elemento físico, sino que se trata de una figura que carece de superficie, volumen y longitud: es decir, no tiene dimensiones, sino que se emplea para nombrar una posición determinada dentro de un espacio.

La idea de línea o recta, en cambio, refiere a una sucesión infinita de puntos que se prolonga en una misma dirección y en una única dimensión. Las rectas carecen de principio y de fin.

La noción de puntos colineales aparece en la geometría para denominar a los puntos que se sitúan en la misma recta. 

El paralelismo es una relación que se establece entre entes geométricos de dimensión mayor o igual a uno, esto es, las rectas y los planos (de hecho, también pueden ser paralelos otro tipo de objetos cuyo estudio no se aborda aquí).
Los objetos paralelos (recta a recta, recta a plano o plano a plano) son equidistantes, y nunca se tocan por más que los prolonguemos.

Secante es un concepto que, en la geometría, refiere a la superficie o la línea que interseca otra superficie o línea.

Una recta secante, por lo tanto, es aquella que corta otra recta o una curva. Puede decirse que dos rectas son secantes cuando disponen de un punto en común (aquel en el que se cruzan).

Los ángulos entre paralelas, en geometría euclidiana, son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Estableciendo una relación a distancia entre estos ángulos.

Ángulos alternos
Son los que se sitúan a distinto lado de la transversal.

Alternos internos
Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.
Las parejas de ángulos: c,f; d,e se llaman ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos son congruentes.

Alternos externos
Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.
Las parejas de ángulos: a,h; b,g se llaman ángulos alternos externos. Los ángulos alternos externos son congruentes.

Ángulos colaterales

Ángulos colaterales son los que se encuentran del mismo lado de la secante

Ángulos colaterales internos
Los ángulos colaterales internos​ o conjugados internos​ son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas.
Son ángulos colaterales internos los siguientes ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos colaterales internos son suplementarios.(suman 180°)

Ángulos colaterales externos
Los ángulos colaterales externos​ o conjugados externos​ son los que se encuentran al mismo lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas.
Son ángulos colaterales externos los siguientes ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos colaterales externos son suplementarios.(suman 180°)

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes.

La proporcionalidad es una relación o razón constante entre magnitudes que se pueden medir. Si uno aumenta o disminuye el otro también aumenta o disminuye proporcionalmente.

Proporción directa
Diremos que la proporción es directa si relacionan magnitudes en las que al aumentar una también lo hace la otra y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:

Proporción inversa
Diremos que la proporción es inversa si implica una relación de magnitudes en que al aumentar una la otra disminuye y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:

SUPERFICIE

Llamamos superficie a la parte exterior de cualquier cuerpo, objeto que bien nos sirve como límite con el exterior o con algo en especial.

Para las matemáticas la superficie será aquella extensión de la cual solo se tienen en cuenta la extensión y el ancho. De este modo estamos ante un espacio bidimensional.

B.  IDENTIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN

Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios: Por sus lados o Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Triángulo equilátero
Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados).

Triángulo isósceles
Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno
Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto. A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo
Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de); los otros dos son agudos (menor de).

Triángulo acutángulo
Cuando sus tres ángulos son menores a ; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

CARACTERÍSTICAS

Seno
El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

Coseno

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

Tangente
La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Cosecante

La cosecante es la razón trigonométrica inversa del seno, es decir csc α · sen α=1.
La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).

Secante

La secante es la razón trigonométrica inversa del coseno, es decir sec α · cos α=1.
La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Cotangente

La cotangente es la razón trigonométrica inversa de la tangente, por lo tanto tan α · cot α=1.
La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

 

Mediatrices y circuncentro
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las rectas que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados y son perpendiculares a los mismos. Las tres mediatrices del triángulo (hay una por cada lado) se cortan en un punto que está, por tanto, a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Eso quiere decir que se puede trazar una circunferencia con centro en dicho punto y que pase por los tres vértices. A esa circunferencia se la denomina circunferencia circunscrita, y al centro de la misma en el que se cortan las tres mediatrices circuncentro.

Bisectrices, incentro y exincentros
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos, y son perpendiculares entre sí. Las tres bisectrices interiores del triángulo (hay una por cada ángulo) se cortan en un punto que está, por tanto, a la misma distancia de los tres lados del triángulo. Eso quiere decir que se puede trazar una circunferencia con centro en dicho punto y que sea tangente a los tres lados del triángulo. A esa circunferencia se la denomina circunferencia inscrita, y al centro de la misma en el que se cortan las tres bisectrices incentro.

Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

Medianas y baricentro
Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.

Alturas y ortocentro
Las alturas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices y son perpendiculares al lado opuesto de dicho vértice, o a su prolongación.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro, H.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto (90°). A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al lado restante hipotenusa. Pues bien, el teorema de Pitágoras relaciona la hipotenusa con sus dos catetos. Vamos ahora a descubrir esta relación.

Imaginemos un triángulo rectángulo, por ejemplo, de catetos 3 y 4 cm y con una hipotenusa de 5 cm, y dibujamos un cuadrado sobre cada uno de sus lados. Nos queda una figura así:

Pues bien, lo sorprendente es que el cuadrado de la hipotenusa tiene la misma área que los otros dos cuadrados juntos.

En nuestra imagen de muestra podemos comprobarlo sumando la cantidad de cuadraditos que conforman cada cuadrado, pues, el cuadrado de la hipotenusa está formado por 25 cuadraditos, que es igual a los 16+9=25 cuadraditos de los otros dos cuadrados.

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).

Semejanza

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales

. 

C.  IDENTIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS

• Lados: son los segmentos de recta que forman al cuadrilátero.
• Vértices: son los puntos de encuentro entre dos lados.
• Ángulos internos: son los ángulos determinados por dos lados consecutivos de un cuadrilátero.
• Ángulos externos: son los ángulos que se forman al prolongar un lado de un polígono. Un ángulo externo siempre es suplementario al ángulo interno adyacente a él.
• Diagonales: segmentos de recta cuyas extremidades son dos vértices no consecutivos de un polígono. De esta manera, son los segmentos de recta que unen dos vértices y que a la vez no son lados.

Trapecio

• ·         Lados: un trapecio tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d).
• ·         Bases: las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b).
• ·         Ángulos: tiene cuatro ángulos (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, α1+α2+α3+α4=360º. Estos ángulos definen el tipo de trapecio que es.
• ·         Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
• ·         Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2), salvo en el caso del trapecio isósceles que son iguales.

Paralelogramo

• Lados: el paralelogramo tiene cuatro lados, siendo iguales y paralelos dos a dos (a y b). 
• Ángulos: los ángulos interiores son iguales dos a dos, siendo iguales los ángulos no consecutivos (α y β).
• Diagonales: en el caso de que las diagonales (D₁ y D₂) sean perpendiculares, el paralelogramo será un cuadrado o un rombo. Si las diagonales son iguales, es un cuadrado o un rectángulo.

Rectángulo

• Lados: tiene cuatro lados, siendo cada lado igual a su opuesto (a y b), es decir, dos a dos.
•  Ángulos: sus cuatro ángulos (α) son iguales y rectos de 90º (π/2 radianes). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).
• Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices opuestos. Tiene dos diagonales (D₁ y D₂) iguales y que se cortan en el centro del rectángulo.
• Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el rectángulo en dos partes simétricas respecto a dicho eje. Tiene dos ejes de simetría (E₁, E₂) paralelos a los lados a y b y pasan por el centro del rectángulo.

Cuadrado

• Lados: el cuadrado tiene cuatro lados (a) iguales y paralelos dos a dos. 
• Angulos: tiene cuatro ángulos (α) iguales y rectos de 90º (π/2 radianes).
• Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).
• Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices opuestos. 
• Tiene dos diagonales (D₁ y D₂) iguales y perpendiculares. Se cortan en el centro del cuadrado.
• Las diagonales son las bisectrices de los ángulos. También son ejes de simetría.
• Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el cuadrado en dos partes simétricas.
• Tiene cuatro ejes de simetría (E₁, E₂, E₃ y E₄).

Rombo

• Lados: el rombo tiene cuatro lados (a) iguales.
• Ángulos: tiene cuatro ángulos (dos α y dos β) iguales dos a dos. 
• Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).
• Diagonales: las diagonales son segmentos que unen los vértices no consecutivos. 
• Tiene dos diagonales (D y d) desiguales y perpendiculares. Se cortan en el centro del rombo.
• Las diagonales son las bisectrices de los ángulos. También son ejes de simetría.
• Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el rombo en dos partes simétricas respecto a dicho eje.
• Tiene dos ejes de simetría (E₁, E₂) que coinciden con las diagonales.

Trapezoide

• Lados: el trapezoide tiene cuatro lados (a, b, c y d), no siendo paralelos entre ellos.
• Ángulos: tiene cuatro ángulos (α₁, α₂, α₃ y α₄). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π radianes).
• Diagonales: las diagonales (D₁ y D₂) son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales.
• Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividirían el trapezoide en dos partes simétricas respecto a dicho eje. El trapezoide no tiene ningún eje de simetría, excepto el trapezoide simétrico (o deltoide) que tiene uno.

ÁREAS Y PERÍMETROS

Trapecio

Rectángulo

 

Cuadrado

Rombo

Trapezoide 

Para calcular el área de un trapezoide es necesario dividirlo en triángulos.

D.  IDENTIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS DE MÁS DE CUATRO DE LADOS

HEXÁGONO               PENTÁGANO 

6 lados y ángulos            5 lados y ángulos

OCTÁGONO                  HEPTÁGONO

8 lados y ángulos             7 lados y ángulos

DECÁGONO                 ENEÁGONO 

10 lados y ángulos          9 lados y ángulos

DODECÁGONO            UNDECÁGONO

12 lados y ángulos           11 lados y ángulos

TETRADECÁGONO       TRIDECÁGONO

14 lados y ángulos          13 lados y ángulos

CLASIFICACIÓN DESCOMPOSICIÓN DE POLÍGONOS EN TRIÁNGULOS Y  EN DIAGONALES

En geometría, la triangulación de un polígono o área poligonal es una partición de dicha área en un conjunto de triángulos por un conjunto máximal de diagonales que no se cruzan. De manera más precisa, una triangulación es una división del área en un conjunto de triángulos que cumplen las siguientes condiciones:

·         La unión de todos los triángulos es igual al polígono original.

·         Los vértices de los triángulos son vértices del polígono original.

·         Cualquier pareja de triángulos es disjunta o comparte únicamente un vértice o un lado

 

Número de diagonales

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.

Esto es válido para los n vértices del polígono.

Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

CÁLCULO DE ÁREA

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

 

CÓMO SACAR EL PERÍMETRO Y ÁREA DE PLÍGONOS

B.  IDENTIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS Y LAS PROPIEDADES DEL CÍRCULO

Circunferencia
Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

 

Diámetro

Línea recta que une dos puntos de una circunferencia, de una curva cerrada o de la superficie de una esfera pasando por su centro.

Radio
Eel radio de una circunferencia es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia. La longitud del radio es la mitad de la del diámetro

Arco
Un arco es cualquier curva continua que une dos puntos.​ También, se denomina arco a un segmento de circunferencia.

Cuerda

Una cuerda de un círculo es cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pero que no pasa por el centro.

 

Tangente

Una tangente a un círculo es una línea recta que toca elcírculo solamente en un punto. Este punto es llamado el punto de tangencia. La tangente en cualquier punto de uncírculo es perpendicular al radio a traves del punto de tangencia.

 

Secante
Una recta secante es una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

 

 Sector

Sector circular es la parte de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y los radios correspondientes a sus extremos

  

Angulo central
Un ángulo central es un tipo de ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia, y cuyos lados son dos radios correspondientes a dos puntos distintos de la circunferencia.

 

Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia, a cualquier ángulo cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son secantes a la misma.

 

 Ángulo semi-inscrito 

Ángulo semi-inscrito es aquel que tiene el vértice en la circunferencia, y sus lados son una cuerda y una tangente a la circunferencia.

 

Ángulo ex-inscrito

Se le llama así al ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado es secante y el otro exterior a la circunferencia. 

 

Ángulo interior 

Un ángulo interno o interior es aquel que es formado por dos lados de un polígono que comparten un vértice en común, éste está dentro de él.

 

Ángulo exterior
Un ángulo exterior a una circunferencia es el ángulo cuyo vértice está fuera de la circunferencia y sus lados entran en contacto con la misma

Cálculo del perímetro de un circulo

El perímetro de un circulo es la circunferencia y su valor es igual diámetro multiplicado por pi. Como el diámetro es igual a dos radios también se puede decir que la longitud de la circunferencia = p x 2r

Cálculo del área de un circulo

El área del círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por pi = p x r².

RESULTADO DE APRENDIZAJE 2.2
SOLUCIONA SITUACIONES DE SU ENTORNO QUE INVOLUCREN EL CÁLCULO DE SUPERFICIES Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS EMPLEANDO FÓRMULAS, PROPIEDADES Y DIBUJOS A ESCALA

A.  GRÁFICA EN TRES DIMENSIONES

Las ecuaciones con tres incógnitas no son posibles de graficar en un plano cartesiano con coordenadas (x, y):

Ya que, dónde pondríamos las coordenadas z, recordando que un sistema tres por tres maneja tres incógnitas: x, y, z. Para casos como este se trabaja con un plano tridimensional.

En geometría y análisis matemático, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Por ejemplo, anchura, longitud y profundidad.

Observa el siguiente planodonde se grafica en un plano tridimensional un punto.

CÓMO GRAFICAR CON TRES COORDENADAS

     B.  CÁLCULO DE VOLÚMENES Y ÁREAS

Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, los lados y vértices de las caras son las aristas y vértices del poliedro respectivamente.

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo número de ellas en cada vértice.

Solo existen 5 poliedros regulares que son:                                                                                          

                   

                               

   

Tetraedro                               Octaedro                         Cubo

(4 triángulos equiláteros)     (8 triángulos equiláteros)     (6 cuadrados)

                          

Dodecaedro                                          Icosaedro
(12 pentágonos regulares)                (20 triángulos equiláteros)

Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales:

1º) PRISMAS: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus caras laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados tenga la base.

2º) PIRÁMIDES: son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.

PRISMA

El prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por 2 polígonos regulares, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga la base. Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Prisma hexagonal). 

Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL:

AL =P . h

(Es decir, el área lateral es igual al perímetro del polígono del base multiplicado por la altura (h) del prisma)

ÁREA TOTAL:

AT =AL + 2. Ab

(Es decir, el área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de las 2 bases)

VOLUMEN:

V = Ab . h

(Es decir, el volumen es igual al área del polígono del base multiplicado por la altura (h) del prisma)

PIRÁMIDE

La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base. Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL:

AL = P . a/2

 

(El área lateral es igual al perímetro del polígono del base multiplicado por la altura de una cara lateral (a) de la pirámide y dividido entre 2)

ÁREA TOTAL:

AT = AL + Ab

(El área total es igual al área lateral más el área del polígono de la base)

VOLUMEN:

V = Ab . h/3

(El volumen es igual al área del polígono del base multiplicado por la altura (h) de la pirámide y dividido entre 3)

CILINDRO

El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. 

Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL:

A = 2. p . r . h

 

(El área lateral es igual a 2 multiplicado por p ( pi ), el resultado multiplicado por el radio de la base (r) y multiplicado por la generatriz (h) del cilindro)

ÁREA TOTAL:

AT = AL + 2 . Ab =2prh+2(pr2)

(El área total es igual al área lateral más las áreas de los dos círculos de las bases)

VOLUMEN:

V = (p . r2 ) . h

(El volumen es igual al área del círculo del base multiplicado por la altura (h) del cilindro) 

 

CONO

El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL:

AL = p . r . g

(El área lateral es igual a p (pi)multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado por  la generatriz ( g ) del cono)

ÁREA TOTAL:

AT = AL + Ab= p r (r+g)

(El área total es igual al área lateral más el área del círculo de la base)

VOLUMEN:

A = 1/3 (p. r2).h

(El volumen es igual al área del círculo del base multiplicado por la altura (h) del cono y dividido entre 3)

ESFERA

La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Podemos hallar el área y el volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA:

A = 4. p . r2

(El área es igual a 4 multiplicado por  p (pi), y el resultado se multiplica por el cuadrado del radio de la esfera)

VOLUMEN:

V = 4/3. p . r3

(El volumen es igual a 4 multiplicado por p (pi), el resultado se multiplica por el cubo del radio de la esfera ( R )  y lo que resulta se divide entre 3)