UNIDAD 3. APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA


RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.1
RESUELVE PROBLEMAS RELACIONADOS CON TRIÁNGULOS, RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS EMPLEANDO RAZONES Y LEYES TRIGONOMÉTRICAS

    A. IDENTIFICACIÓN DE RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La circunferencia unitaria es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia (llamada radio) de un punto fijo (llamado centro) y tiene la particularidad que su centro está en el origen de coordenadas y su radio es una unidad (). Esta circunferencia unitaria es de gran utilidad para definir las funciones trigonométricas, dado que nos permiten ver la relación entre las razones trigonométricas (dadas entre los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma en el interior de la circunferencia) y los valores de la función seno, coseno y tangente.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45°


  Dibujamos un cuadrado de lado 1 unidad.
La diagonal del cuadrado divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 45°.


A continuación, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de la diagonal:



 Aplicando las definiciones de las razones trigonométricas tenemos que:







RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30°

 Dibujamos un triángulo equilátero de lado 1 unidad.
La altura divide en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos son de 30° y 60°.


A continuación, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de la altura:


Aplicando las definiciones de las razones trigonométricas tenemos que:



Del triángulo anterior podemos deducir directamente las razones trigonométricas del ángulo de 60o.







Las gráficas funciones trigonométricas tienen propiedades como: dominio, alcance, máximo, mínimo, periodo y algunas otras. De cada función te mostraré sus características y su gráfica:

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = sen(x)

El ciclo de la función seno comienza en 0 y termina en 2π.
Dominio: el conjunto de números reales
Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.
Cruza el eje de “y” en (0,0)
El eje de referencia es: eje “x”.
El punto máximo es:  (π/2,1)
El punto mínimo es: (3π/2,-1)
Su período: 2π.



CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = cos(x)


El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π.
Dominio: el conjunto de números reales.
Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.
Cruza el eje de “y” en: (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es:  (0,1) y (2π,1)
El punto mínimo es: (π,-1)
Su período: 2π



CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = tan(x)


El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. 
Tiene asíntotas en el ciclo.
Dominio: toda x diferente a (π/2)±nπ
Alcance: el conjunto de todos los números reales.
Cruza el eje de “y” en  (0,0)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es:
El punto mínimo es:
Su período: π
Asíntotas: x=±π/2


  
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = cot(x)


El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π.
Tiene asíntotas en el ciclo.
Dominio: toda x diferente a ±nπ
Alcance: el conjunto de todos los números reales.
No cruza el eje de “y”
El eje de referencia es: el eje “x”.
Su período: π
asíntotas: x=±nπ



CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = sec(x)


El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2.
Tiene tres asíntotas verticales.
Dominio: el conjunto de números reales excepto los múltiplos impares de π/2
Alcance: el conjunto de todos los números reales menores menores o iguales que –1 y todos los números mayores o iguales que 1
Cruza el eje de “y” en (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es:  (π,-1)
El punto mínimo es:  (0, 1)
Su período: 2π
Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2



CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = csc(x)


El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π.
Tiene tres asíntotas.
Dominio: el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2
Alcance: el conjunto de todos los números menores o iguales que -1 y todos los números mayores o iguales que1
Cruza el eje de “y” en (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es:   (π,-1)
El punto mínimo es: (0, 1)
Su período: 2π
Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2


Primer cuadrante


En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje “y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia.
Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.


Segundo cuadrante


En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son negativas.


Tercer cuadrante


En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás negativas.


Cuarto cuadrante


En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto solo el coseno y la secante serán positivas.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA



     B.   RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
     
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS



     C.   SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Ley de los senos
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces: 





Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ley de los cosenos
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:

  c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
 b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or
 a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .


EXPLICACIÓN DE LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS





RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.2
RESUELVE PROBLEMAS DE IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EMPLEANDO SUS LEYES Y PROPIEDADES

     A.  DEFINICIÓN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Las identidades trigonométricas hacen referencia a todas las variables posibles de ángulos que pueden aparecer en una figura geométrica. ¿Por qué son fundamentales en matemáticas? Porque sirven de base para la demostración de otras entidades más complejas. Las identidades en la trigonometría se utilizan para simplificar expresiones trigonométricas; es decir, nos sirven para mostrar que cada vez que se cumple la primera expresión, se va a cumplir la segunda.

Podemos dividir las identidades trigonométricas en tres categorías diferentes: pitagóricas, cocientes y recíprocas. Estas son las abreviaturas que utilizaremos:
sen= seno
cos= coseno
tan= tangent
sec= secante
csc= cosecante
cotg=cotangente



Las identidades trigonométricas pitagóricas se obtienen al aplicar el Teorema de Pitágoras a las definiciones de las funciones trigonométricas. Son tres identidades y se cumplen para cualquier valor del ángulo x. A continuación, te mencionamos cuáles son y cómo se obtienen.

·                    sen2 x + cos2 x = 1

Tenemos un triángulo ABC en donde la hipotenusa es igual a 1, el cateto opuesto es igual a sen x, y el cateto adyacente es igual a cos x .

Si despejamos:
               


Utilizando el Teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
Sustituyendo:
(1)2 = (sen x)2 + (cos x)2
1 = sen 2 x + cos 2 x



·                    sec2 x = tan2 x + 1
Supongamos que tenemos un triángulo ABC en donde el cateto adyacente es igual a 1 y el cateto opuesto es igual a tan x , por lo que la hipotenusa debe cumplir con ser igual a la sec x

Si despejamos:
               


Utilizando el Teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
Sustituyendo:
sec2 x = (tan x)2 + (1)2
sec2 x = tan2 x + 1
Con lo que queda demostrada esta identidad.




·                    csc2 x = 1 + cot2 x
Supongamos que tenemos un triángulo ABC en donde el cateto opuesto es igual a 1 y el cateto adyacente es igual a cot x , por lo que la hipotenusa cumple con ser igual a la csc x .

Si despejamos:
               


Utilizando el Teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
Sustituyendo:
csc2 x = (1)2 + (cot x)2
csc2 x = 1 + cot2 x




Las identidades trigonométricas de cociente son dos: tangente y cotangente y tienen la propiedad de relacionar, por medio de un cociente, las funciones trigonométricas seno y coseno.

Función
Cociente
Demostración
Tangente A
La razón de seno x entre coseno de x se cumple para:

Cotangente A
La razón de coseno x entre seno x se cumple para:


Suma y diferencia de ángulos








Ángulo doble





Ángulo mitad




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